§ 4. Закон Кетле. Биномиальное распределение вариационного ряда

В прошлом веке бельгийский статистик Кетле, измерив рост 25 875 солдат США, установил, что распределение вариант в вариационном ряду пропорционально коэффициентам Х = бинома (двучлена) Ньютона (а+b), расположенного по степеням числа X. Это положение получило название закона Кетле:

Коэффициенты бинома можно подсчитать при помощи треугольника Паскаля:

Варианты в вариационном ряду при достаточно большой выборке и однородном материале распределяются по колоколообразной биномиальной кривой (кривая, выражающая бином Ньютона) (рис. 37). Следует подчеркнуть что подобную идеальную кривую можно получить лишь при массовых исследованиях (очень большие выборки особей, не меньше нескольких тысяч объектов).

Рис. 37. Биномиальная кривая (вверху) и кривая нормального распределения по росту 117 взрослых мужчин (внизу)

Закономерности такого распределения вариант можно наглядно продемонстрировать на довольно простом приборе - аппарате Гальтона (рис. 38).

Рис. 38. Аппарат Гальтона

Аппарат Гальтона представляет собой ящик, в верхней части которого имеется отделение с выходным отверстием. В средней части ящика в шахматном порядке вбиты гвозди. Самая нижняя часть ящика разделена на равные части перегородками. Аппарат ставят в наклонном положении (примерно под углом 30°), верхнее отделение заполняют дробью. Отдельные дробинки, встречая на своем пути преграды в виде гвоздей, отклоняются в обе стороны. Достигая нижней части аппарата, дробинки распределяются в ней, образуя подобие гистограммы или полигона распределения вариационного ряда, где максимальное число дробинок занимает срединное положение, а минимальное - краевые (максимальные отклонения дробинок от центра являются маловероятными).

Все 99,74% вариант выборки в биномиальной кривой укладываются в пределах ±3σ. Это правило получило название правила трех сигм. Подавляющее большинство вариант (95%) составляет ±2σ. Оставшиеся 0,26% составляют варианты меньше или больше трех сигм.

Практически наблюдения, составляющие 5% от всей выборки, встречаются редко и во внимание не принимаются (см. рис. 37, I). Биномиальная кривая является статистическим отражением действия множества разнородных и разнонаправленных факторов, а в применении к биологическим объектам - действия условий среды и соответствующего генотипа для развития исследуемого признака.

Однако при изучении некоторых признаков мы иногда можем сталкиваться с совершенно иным распределением вариант в вариационном ряду, не соответствующем нормальному биномиальному распределению. Причин этому две. Во-первых, согласно теореме Якоба Вернули^* (закон больших чисел), нормальное распределение вариант обнаруживается лишь при большом числе их. Если число наблюдений невелико, кривая может носить несколько иной характер: крайне редкие отклонения могут, попав в отобранную группу, создать неправильное представление о частоте таких вариант в норме. Наконец, существуют особенности самого признака или подбора материала (генетическая неоднородность) или резкая неоднородность условий.

^* (Швейцарская семья математиков Вернули, к которой принадлежал и известный писатель Джонатан Свифт (Иоганн I Вернули) - брат Якоба Вернули. Сыновья Свифта также были известными математиками.)

Мы продемонстрировали лишь незначительное число наиболее распространенных элементов биометрической обработки материала.

Биометрия развивается, обогащается новыми методами.

Следует заметить, что разные авторы дают иногда иные буквенные обозначения биометрических категорий.