Новости     Библиотека     Словарь-справочник     Ссылки     О сайте













предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ III.4. Стохастические модели как цепи Маркова

Стохастическое исследование различных эволюционных моделей в настоящее время продолжается. Сейчас мы можем дать принципиальные ответы на большинство сформулированных выше вопросов, используя результаты, полученные ранее для некоторых простых линейных моделей.

А. Бартоломей [68] недавно изложил стохастическую теорию стационарных линейных процессов "рождения и гибели". Аналогичные проблемы рассматривали другие авторы: например, случай простой автокаталитической (прямой) реакции рассмотрен М. Дельбрюком еще в 1940 г. [69]. Существует обзор литературы по применениям теории случайных процессов к задачам химической кинетики (см. Д. Мак-Кварри [70]).

Следующее обсуждение будет основано на элегантном изложении Бартоломея [68], в котором он использовал метод Q-матрицы Дуба [71]. Элементы метода Дуба и процедура Бартоломея суммированы в табл. 9 и 10.

Таблица 9. Метод Q-матрицы Дуба для случайных процессов, по А. Бартоломею [68]

I. Требования

"Функция переходных вероятностей" pij(t) для перехода из состояния определяется как условная вероятность

(1)

т. е. вероятность того, что случайная переменная xi будет иметь значение Sj в момент времени t0 + t, если она имела значение Si в момент времени t0. Процесс (xt, 0 ≤ t < ∞) называется стационарной цепью Маркова, если вероятности перехода удовлетворяют следующим условиям:

(2)
(3)
(4)
(5)

II. Определение матрицы Q = (qij)

(6)
(7)

Требования I и определения II используются для построения следующей системы дифференциальных уравнений (p· = dp/dt):

III. а) Прямая система

(8)

б) Обратная система

(9)

Прямая система описывает, что происходит в последнем временном интервале (t → 0) до перехода; обратная система описывает, что происходит в первом временном интервале после перехода. Это отражено в суммах: в случае прямой системы варьируют конечное состояние, в случае обратной системы варьируют начальное состояние.

IV. Общее решение

Для конечного числа состояний и при данных начальных условиях, например при условии (5), единственное решение для обеих систем может быть дано в матричной форме, как показано Дубом [71]:

(10)

- матрицы, получается последовательным суммированием членов разложения экспоненты в ряд

(11)

Для определения величин pij(t) и соответствующих qij некоторым свойствам детерминистических уравнений дается вероятностная интерпретация (ср. табл. 10).

Таблица 10. Линейные процессы рождения и гибели как цепи Маркова, по А. Бартоломею [68]

Дано детерминистическое уравнение

(1)

и его решение

(2)

)

где F и R - константы.

Для малого интервала времени между t1 и t1 + Δt1 результирующее изменение Δx1 в популяции равно

(3)

где 0(Δt1) включает в себя все бесконечно малые высших порядков. Δt1 выбирается достаточно малым, чтобы в этом временном интервале имели конечное значение лишь вероятности образования или распада одной копии, которые даются выражениями

(4)

Тогда численность популяции может измениться только на плюс или минус единицу; таким образом, разрешены только переходы Si → Si-1 или Si → Si+1 (i = 1, 2, ...), и эти переходы могут происходить только в результате одного элементарного события (множественные рождения и гибели, дающие в сумме изменение на ±1, исключаются). Далее, переход S0 → S1 имеет нулевую вероятность, так как, достигнув состояния S0, система "вымирает". Используя разложение pij(t) в ряд


строим Q-матрицу согласно уравнениям (6) и (7) в табл. 9 и после сравнения с выражениями (4) в настоящей таблице получим

(5)
(6)
(7)

(i = 0, 1, 2, ... - состояния популяции).

Теперь можно построить "прямые" и "обратные" уравнения, приведенные в табл. 9:

(8)
(9)

Чтобы решить эти уравнения, введем "производящую функцию вероятностей":

(10)

Из ∂ф/∂s и ∂ф/∂t получим

(11)

с дополнительным уравнением

(12)

интегрирование которого для двух случаев ведет к общему решению уравнения в частных производных для производящей функции:

1. FR

(13)

Разложение по степеням s дает значения коэффициентов при sk, которые, по формуле (10), равны соответствующим вероятностям:

(14)

Верхний предел суммирования равен k, если 0 < k < i, и равен i, если k ≥ i. имеем

(15)

Математическое ожидание i равно

(16)

т. е. совпадает с результатом детерминистической теории; дисперсия i равна

(17)

2. F = R. Решение аналогично:

(18)
(19)
(20)
(21)

Рассматриваемый процесс, детерминистический аспект которого выражен уравнением (II.10) с φi l = 0, Fi и Ri = const, представляет собой стационарную цепь Маркова

(III.5)

Время (t) является непрерывным параметром; xi - случайная популяционная переменная - принадлежит дискретному счетному множеству состояний S0, S1 .... Переход из одного состояния (Si) в другое (Sj) описывается вероятностью перехода Pij(t). Это вероятность того, что система, находящаяся в состоянии Si при t = 0, достигает состояния Sj в момент времени t. Знание pij(t) позволяет определить математическое ожидание и дисперсию для населенности любого состояния во время t, если заданы начальные условия для t = 0. Вероятности перехода для линейного процесса рождения и гибели, вычисленные в табл. 10, дают основу для дальнейшего обсуждения.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




© Злыгостев Алексей Сергеевич, подборка материалов, оцифровка, статьи, оформление, разработка ПО 2013-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить активную ссылку на страницу источник:
http://genetiku.ru/ "Genetiku.ru: Генетика"